在数学的学习过程中，一元三次方程是一个常见的知识点。它的一般形式为：

$$ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $$

其中 $ a \neq 0 $。对于这类方程的求解，通常会涉及到因式分解的方法，尤其是当方程存在有理根时，因式分解可以大大简化求解过程。

一、什么是因式分解？

因式分解是指将一个多项式表示为几个多项式的乘积形式。对于一元三次方程来说，如果能够将其分解为三个一次因式的乘积，那么就可以直接求出其根，从而解决方程问题。

例如，若一个三次方程可以写成：

$$ (x - r_1)(x - r_2)(x - r_3) = 0 $$

则它的三个实数根分别为 $ r_1, r_2, r_3 $。

二、如何进行因式分解？

1. 找到一个根（试根法）

根据有理根定理，如果一个多项式 $ ax^3 + bx^2 + cx + d $ 有一个有理根 $ \frac{p}{q} $，那么 $ p $ 是常数项 $ d $ 的因数，$ q $ 是首项系数 $ a $ 的因数。

因此，我们可以列出所有可能的有理根，然后代入原方程进行验证，找到一个使得方程等于零的值。

例如，对于方程：

$$ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 $$

常数项是 -6，首项系数是 1，所以可能的有理根为 ±1, ±2, ±3, ±6。

代入后发现，当 $ x = 1 $ 时，方程成立，说明 $ x - 1 $ 是这个方程的一个因式。

2. 多项式除法

一旦找到一个根，就可以用多项式长除法或综合除法将原三次多项式除以对应的因式，得到一个二次多项式。

例如，对上面的例子，我们用 $ x - 1 $ 去除 $ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 $，结果为：

$$ x^2 - 5x + 6 $$

然后对这个二次方程继续因式分解：

$$ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) $$

最终，原三次方程可分解为：

$$ (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0 $$

因此，其三个根为 $ x = 1, 2, 3 $。

三、特殊情况与技巧

- 重根情况：如果某个因式出现多次，如 $ (x - 1)^2 $，说明该根为重根。

- 无理根或复根：如果无法找到有理根，可能需要使用求根公式（如卡丹公式）或者配方法来处理。

- 分组分解法：某些三次多项式可以通过分组的方式进行因式分解，比如：

$$ x^3 + 2x^2 + x + 2 = x^2(x + 2) + 1(x + 2) = (x^2 + 1)(x + 2) $$

四、实际应用

一元三次方程在物理、工程、经济学等领域中都有广泛应用。例如，在力学中，物体的运动轨迹可能会涉及三次函数；在经济学中，成本和收益模型也可能包含三次项。通过因式分解，可以更直观地分析这些模型的行为特征。

总之，掌握一元三次方程的因式分解方法，不仅能帮助我们快速求解方程，还能加深对多项式结构的理解。通过不断练习和总结规律，因式分解将不再是难题。