在高等数学中，函数求导是一项基础而重要的技能。今天我们要探讨的是一个稍微复杂一些的函数——即 \( y = x^3 \cdot e^x \) 的导数问题。

首先，我们需要明确这是一个复合函数，其中包含了幂函数 \( x^3 \) 和指数函数 \( e^x \)。为了计算其导数，我们可以使用乘积法则。乘积法则的基本形式是：如果 \( u(x) \) 和 \( v(x) \) 是两个可导函数，则它们的乘积 \( u(x)v(x) \) 的导数为 \( u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \)。

在这个例子中，我们令 \( u(x) = x^3 \) 和 \( v(x) = e^x \)。接下来分别对这两个函数求导：

- \( u'(x) = 3x^2 \)，因为 \( x^3 \) 对 \( x \) 求导后得到 \( 3x^2 \)。

- \( v'(x) = e^x \)，因为 \( e^x \) 的导数仍然是自身。

根据乘积法则，\( y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \)，代入具体表达式得：

\[ y' = (3x^2)(e^x) + (x^3)(e^x) \]

进一步简化，提取公因式 \( e^x \)，可以写成：

\[ y' = e^x (3x^2 + x^3) \]

这就是 \( y = x^3 \cdot e^x \) 的导数。通过这种方式，我们不仅解决了这个问题，还复习了乘积法则的应用。希望这篇解释能帮助你更好地理解这类问题！