在高中数学的学习过程中，概率与统计是不可或缺的一部分。其中，数学期望和方差的概念及计算方法是重点内容之一。它们不仅是理论学习的核心，也是解决实际问题的重要工具。本文将系统地整理高中阶段涉及的数学期望和方差的常见公式，并结合实例进行分析，帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。
一、数学期望的基本概念及公式
数学期望（Expected Value）通常用来衡量随机变量的平均值或中心位置。对于离散型随机变量 \( X \)，其数学期望定义为：
\[
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
\]
其中，\( x_i \) 是随机变量 \( X \) 的可能取值，\( p_i \) 是对应取值的概率。
对于连续型随机变量 \( X \)，其数学期望定义为：
\[
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
\]
其中，\( f(x) \) 是随机变量 \( X \) 的概率密度函数。
此外，在一些特定情况下，我们还会遇到加权平均数的形式。例如，若 \( Y = aX + b \)，则 \( E(Y) = aE(X) + b \)。
二、方差的基本概念及公式
方差（Variance）用于描述随机变量与其数学期望之间的偏离程度。它反映了数据分布的离散程度。方差的定义如下：
\[
Var(X) = E[(X - E(X))^2]
\]
展开后可得更常用的公式：
\[
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
\]
对于离散型随机变量，上述公式可以写成：
\[
Var(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i
\]
而对于连续型随机变量，则为积分形式：
\[
Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) dx
\]
同样地，当 \( Y = aX + b \) 时，方差具有线性性质：
\[
Var(Y) = a^2 Var(X)
\]
三、具体应用场景与实例
1. 离散型随机变量的期望与方差
假设一个骰子被抛掷一次，设 \( X \) 表示出现点数，则 \( X \) 的可能取值为 \( 1, 2, 3, 4, 5, 6 \)，每个点数出现的概率均为 \( \frac{1}{6} \)。此时，
\[
E(X) = \sum_{i=1}^{6} i \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5
\]
\[
E(X^2) = \sum_{i=1}^{6} i^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2}{6} = \frac{91}{6}
\]
因此，
\[
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{91}{6} - (3.5)^2 = \frac{35}{12}
\]
2. 连续型随机变量的期望与方差
考虑标准正态分布 \( N(0, 1) \)，其概率密度函数为：
\[
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}
\]
由于标准正态分布对称且均值为 0，可以直接得出：
\[
E(X) = 0, \quad Var(X) = 1
\]
四、总结与思考
通过以上内容可以看出，数学期望和方差是概率论中的基础工具，广泛应用于自然科学、社会科学乃至工程技术等领域。掌握好这些基本公式及其推导过程，不仅能够提高解题效率，还能培养逻辑思维能力。希望本文能为同学们提供清晰而实用的学习指导！
